Розв'язування показникових нерівностей

Якщо основа a > 1

Функція y = aˣ зростає

Знак нерівності ЗБЕРІГАЄТЬСЯ:

a^f(x) > a^g(x) ⇒ f(x) > g(x)

Якщо основа 0 < a < 1

Функція y = aˣ спадає

Знак нерівності ЗМІНЮЄТЬСЯ на протилежний:

a^f(x) > a^g(x) ⇒ f(x) < g(x)

Методи розв'язування

1. Зведення до однієї основи

Подають обидві частини у вигляді степенів з однаковою основою a та переходять до порівняння показників.

2. Винесення спільного множника

Виносять за дужки aˣ з найменшим показником, спрощують числовий множник та зводять до найпростішої нерівності.

3. Заміна змінної

Нерівності виду A·a²ˣ + B·aˣ + C > 0 зводять до квадратної шляхом заміни aˣ = t (враховуючи, що t > 0).

Покроковий розбір прикладу

Розв'яжіть нерівність: (0,2)²ˣ⁻¹ ≥ 25

Крок 1. Зведення до спільної основи Крок 1/3

Запишемо дріб та число у вигляді степенів з основою 5 (або 0,2):
0,2 = 1/5 = 5⁻¹, тому ліва частина: (5⁻¹)²ˣ⁻¹ = 5¹⁻²ˣ
Правий бік: 25 = 5²
Отримуємо: 5¹⁻²ˣ ≥ 5²

Крок 2. Перехід до показників Крок 2/3

Оскільки основа a = 5 > 1, знак нерівності зберігається:
1 - 2x ≥ 2

Крок 3. Розв'язування лінійної нерівності Крок 3/3

-2x ≥ 2 - 1 ⇒ -2x ≥ 1
Ділимо на -2 (змінюємо знак): x ≤ -0,5
Відповідь: x ∈ (-∞; -0,5]

✏️ Експрес-тренажер: знайдіть розв'язок

Уведіть нерівність (наприклад: x>3) або інтервал (наприклад: (3;+inf))

1) 2ˣ > 8

2) (1/3)ˣ ≥ 9

3) 5ˣ⁻² < 1

4) (0.5)ˣ⁺¹ < 0.25

5) 4ˣ > 16

6) 7ˣ⁺¹ > 1/49

Блог Шепель А.А.

викладач математики

Розв'язування показникових нерівностей